Exercice de Probabilités : Roulette au Casino

La roulette est l'un des jeux les plus emblématiques des casinos. Avec son mélange de chance et de stratégie, elle attire des joueurs de tous horizons. Dans cet article, nous allons examiner un exercice de probabilités portant sur le jeu de roulette tel qu'il est présenté à la page 230 d'un manuel de mathématiques. Pour mieux comprendre, nous explorerons les différentes cotes, les mises possibles, et comment ces éléments influencent les résultats pour le joueur.

Le Contexte de l'Exercice

Imaginons qu'un joueur de roulette mise 5 euros sur une partie. Les règles sont simples :

• Si le joueur obtient un nombre pair, il récupère ses 5 euros misés et gagne 5 euros supplémentaires.
• Si le joueur obtient un nombre impair, il perd ses 5 euros.
• Si le joueur obtient le 0, il gagne 170 euros.

Nous notons X comme la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Ici, la roulette offre un éventail de possibilités allant du gain certain à la perte inévitable. Ce mélange de résultats illustre parfaitement la nature aléatoire de ce jeu captivant.

Détermination de la Loi de Probabilité de X

Nous devons d'abord déterminer les différentes issues possibles de ce jeu et leurs probabilités respectives. Voici les trois cas à considérer :

• Cas 1 : Obtention d'un nombre pair

Il y a 18 nombres pairs entre 1 et 36 (hors zéro). Ainsi, la probabilité d'obtenir un chiffre pair est :

P(X = 5) = 18/37

• Cas 2 : Obtention d'un nombre impair

Il existe également 18 nombres impairs entre 1 et 36. La probabilité d'obtenir un nombre impair est donc :

P(X = -5) = 18/37

• Cas 3 : Obtention du 0

Le 0 est unique, donc la probabilité d'obtenir le 0 est :

P(X = 170) = 1/37

Nous pouvons résumer la loi de probabilité de X sous la forme d'un tableau :

xi	-5	5	170
P(X = xi)	18/37	18/37	1/37

Calcul de l'Espérance de X

L'espérance d'une variable aléatoire est une mesure statistique fondamentale. Elle se calcule en prenant la somme des produits de chaque issue par sa probabilité :

espérance

Dans notre cas, l'espérance E(X) se calcule comme suit :

E(X) = -5 ×	18	+ 5 ×	18	+ 170 ×	1
	37		37		37

En simplifiant, on obtient :

E(X) =	170
	37

Analyse des Résultats

Après avoir calculé l'espérance, il est important de déterminer si le jeu est favorable pour le joueur. Si E(X) > 0, cela signifie que le joueur peut espérer gagner sur le long terme. En revanche, si l'espérance est négative, le casino est en position de force.

Étant donné que notre calcul nous donne une espérance positive, nous concluons que le jeu est en effet favorable au joueur. Cela peut inciter à plus de joueurs à s'intéresser à la roulette, en pensant qu'ils peuvent être en mesure de gagner, mais il faut toujours se rappeler que le hasard joue un rôle prépondérant.

Conclusion

Nous avons analysé un exemple concret d'exercice de probabilités sur le jeu de roulette au casino. Grâce à une approche mathématique, nous avons pu voir comment déterminer la loi de probabilité, calculer l'espérance et analyser la rentabilité du jeu pour le joueur. Cela souligne l'importance de comprendre les bases des probabilités avant de se lancer dans des jeux de hasard. Chaque mise doit être réfléchie, et au-delà des gains potentiels, il est essentiel de jouer de manière responsable.