Montantes géométriques, montantes arithmétiques, systèmes Labouchère, d'Alembert, ou même anti-d'Alembert, principe de la « maturité des chances » autant de termes circulant dans les salles de casinos pour désigner des méthodes, des règles de comportement, que devrait adopter un joueur au moment des enjeux afin de s'assurer une meilleure probabilité de gain. Ces termes, bien qu'apparemment techniques, sont en réalité des façades derrière lesquelles se cachent des stratégies conçues sur des espoirs de gains rapides. Les fameuses « infaillibles martingales » des habitués des casinos s'apparentent à des chants de sirènes : on s’impose des principes de jeu qui décident à chaque coup, et en fonction des résultats précédemment obtenus, quelle mise il convient de déposer sur le tapis. Ces stratégies, tout en promettant des gains, sont souvent des mirages, conduisant les joueurs à une spirale de pertes désastreuses.

Prenons l'exemple du pair/impair à la Roulette (européenne), pour illustrer cette dynamique. La martingale la plus simple est sans conteste la « Grande Martingale » : partant de la mise minimum au 1er coup, on la double à chaque coup successif jusqu'à ce que l'on gagne, auquel cas on s'arrête. Cette méthode, bien qu'attrayante, repose sur l'illusion d'un jackpot imminent, transformant l'expérience de jeu en un parcours enfiévré à la recherche d'une victoire qui semble toujours à portée de main.

Si le jeu pouvait être illimité (à la fois dans le temps et dans l'importance des mises), le joueur adoptant ce système s'assurerait un gain égal à la mise initiale. Toutefois, il en va tout autrement si, comme dans la réalité, il existe des mises minimum et maximum. À première vue, un joueur plaçant 50 € sur pair a une probabilité de 18/37 de gagner 50 €, contre 19/37 de les perdre. Cela semble un jeu équitable, mais en réalité, l'illusion se dissipe rapidement : en moyenne, le calcul révèle un « gain » de 50.18/37 + (-50).19/37 = 50. -1/37 ≃ 1.35 €. Une somme qui, dans le grand schéma des choses, ne représente pas grand-chose face à l'avidité que le jeu peut susciter.

Considérons un scénario où les mises sont astreintes à un plancher de 50 € et à un plafond de 50 000 €. Ce même joueur, optant pour la « Grande Martingale », ne peut donc pas doubler plus de 9 fois de suite (50.2¹⁰ > 50 000). En pratique, il gagnera donc 50 € si pair sort au 1er, 2ème, jusqu'au 10ème coup. En revanche, si 0, ou impair sortent 10 fois de suite, il perdra la somme considérable de :

A = 50 + 2.50 + 4.50 + ... + 2⁹.50 = 51 150 € ; au total, un gain (négatif) moyen de

50.18/37 [1 + 19/37 + ... + (19/37)⁹] - A (19/37)¹⁰ = 50 [1 - (19/37)¹⁰ - (2¹⁰ - 1) (19/37)¹⁰] = 50.[1 - (2.19/37)¹⁰].

En comparant cela au 50 x (-1/37) = 50 (1 - 2.19/37), cette moyenne semble moins bonne, car (2.19/37)¹⁰ > 2.19/37. Que s'est-il donc passé ? C'est que, bien qu'il soit vrai que le joueur ait très nettement augmenté ses chances de gagner ces 50 € : 1.(19/37)¹⁰ > 0,9987, il est tout aussi vrai (et hélas) qu'il risque, par cette méthode, de perdre une somme beaucoup plus considérable. On peut en conclure qu'il a environ 9 987 chances sur 10 000 de gagner 50 € et 13 chances sur 10 000 de perdre 51 150 € ! En termes mécaniques, on pourrait dire qu'après avoir modifié et déplacé les masses du système, la position du centre de gravité devient encore plus défavorable. Dans des conditions réelles de jeu, la « Grande Martingale » ne pourra donc pas rendre positive une espérance de gain qui, sur un coup, reste négative...

Ce phénomène touche toutes les martingales. La théorie des probabilités, avec sa rigueur froide, est on ne peut plus claire, énonçant à ce propos un théorème. Mais deux arguments fournis par le bon sens suffisent à s'en persuader, et ceux qui osent s'aventurer dans le jardin des martingales devraient s'en souvenir.

En premier lieu, est-il concevable qu'un joueur puisse gagner quelque chose à parier sur pile au lancer d'une pièce truquée qui favoriserait face ? Bien sûr que non, quelle que soit la succession des enjeux qu'il adopte. Pourtant, d'un point de vue statistique, jouer pair à la roulette revient exactement à parier pile lorsque pile sort en moyenne 18 fois sur 37, soit moins d'une fois sur deux. Cela souligne l'absurde de croire que l'on peut influencer un jeu basé sur des résultats aléatoires.

D'autre part, le « principe » d'une martingale repose sur l'exploitation d'une certaine quantité d'information fournie par les coups précédents, afin de rompre « l'homogénéité » de la situation initiale. Mais ni la boule ni la roue n'ont accès à ces informations. Comment pourraient-elles en tenir compte ? Or, ce sont elles qui « décident » du sort du joueur. Les illusions se forment en négligeant ce principe fondamental de l'aléatoire.

Il est vrai cependant qu'une martingale modifie le déroulement d'un jeu. C'est principalement sur sa durée qu'elle influe, autrement dit sur le nombre moyen de coups que le joueur pourra jouer avant de tout perdre. Mais, tôt ou tard, si le jeu auquel il se livre a une espérance négative (c'est le cas pour pratiquement tous les jeux de casino), cette ruine finira par survenir. Adopter une martingale, c'est souvent choisir de prolonger une agonie financière déjà inévitable.

A la recherche de la martingale gagnante

Pourquoi tant de joueurs s'acharnent-ils à la recherche de la martingale gagnante ? L'ardeur qu'ils mettent à cela peut sembler inexplicable à première vue. Mis à part les motivations psychologiques, souvent liées à la recherche effrénée de l'adrénaline, c'est le plus souvent une mauvaise lecture des résultats de la théorie qui est à la base de ces tentatives les plus folles et les plus désespérées. Le principe de « maturité des chances » est peut-être ce que l'on fait de mieux dans le genre, qui, grosso modo, demande de jouer de la façon suivante : se fixer un nombre, disons 10, et attendre que noir soit sorti 10 fois de suite pour jouer rouge au 11ème !

Une fervente utilisation de cette méthode se justifierait sans doute par un argument « tiré » d'une « traduction » en langage courant d'une loi des grands nombres : « à la longue, il y a autant de rouge que de noir, donc après 10 noirs, rouge pour rattraper son retard devra sortir plus souvent ». Inutile de préciser que jamais aucune loi des grands nombres ne permet d'arriver à une telle conclusion. La logique statistique est implacable, et ignorer ces principes mathématiques peut mener à des désastres financiers.

La théorie fournit même des résultats qui, d'une certaine manière, assurent du contraire. Par exemple, on peut étudier la « variable aléatoire » Sn = nombre de piles moins nombre de faces après n lancers d'une pièce équitable. En mesurant la probabilité du « retour à l'équilibre » [P (Sn = 0)], on s'aperçoit qu'elle devient de plus en plus petite lorsque n augmente. Un autre point de vue consiste à s'intéresser au « dernier retour à l'équilibre avant n » Sup k < n Sk = 0, soit le dernier coup où il y a eu autant de piles que de faces. Les calculs montrent que sur 100 000 lancers, il y a une chance sur deux pour qu'il n'y ait pas un retour à l'équilibre du 50 000ème au 100 000ème. On ne voudrait pas être à la place du joueur qui, vers le 3 000ème lancer, estimant que depuis 800 coups, pile a été trop souvent tiré, décide de jouer « la contre-dominante » face ! Pile va encore sortir beaucoup plus souvent que face durant 500 coups ! Le retour à l'équilibre n'intervenant que 3 000 coups plus tard ! Les illusions de chance peuvent parfois entraîner une perte de contrôle catastrophique.

Cela dit, rien ne vous empêche, c'est une autre histoire, de croire en votre chance, surtout si votre petit(e) ami(e) vient de vous quitter... Dans ces moments-là, les jeux de hasard peuvent sembler être une échappatoire séduisante, mais la réalité du jeu se rappelle rapidement à vous lorsque les jetons commencent à disparaître. La quête de la martingale gagnante est souvent plus une quête spirituelle qu'un véritable chemin vers la richesse.

Exemple de martingales

La martingale la plus connue est la « montante géométrique ». Vous misez 1 €. Si vous gagnez, vous recommencez à miser 1 €. Si vous perdez, vous misez 2 €, puis si vous perdez encore, 4 €, et ainsi de suite. La suite des mises obéit donc à une progression géométrique en cas de pertes consécutives, mais ce schéma, aussi séduisant qu'il soit, est piégé par les limites imposées par le casino. Le vrai danger réside dans l'illusion d'invincibilité que les joueurs peuvent en retirer.

Comme vous finirez bien par gagner, disons... au n-ième coup, le bilan est simple à faire : vous avez perdu successivement 1, 2, 4, 8, ... 2ⁿ-1 €, puis vous avez gagné 2ⁿ €. Il vous reste alors... 1 € de gain. Facile à comprendre, n'est-ce pas ? Pourtant, l'obstacle, vous l'avez identifié, bien sûr : c'est le maximum de mise autorisé par le casino (ou alterné avec votre compte en banque) qui limite le nombre de pertes successives à un entier N. Votre probabilité de perdre plus de N fois de suite est très faible, certes, mais regardez ce que cela vous coûterait en regard du malheureux petit Euro d'enjeu de votre montante ! Beaucoup de joueurs, grisés par l'illusion de cette méthode « infaillible », ont perdu des fortunes, attirés dans une spirale de perte due à l'espoir d'un retour à la victoire.

Une autre martingale, intéressante à citer tout simplement parce qu'elle a été étudiée par un célèbre mathématicien, est la « montante d'Alembert » que beaucoup considèrent comme une approche plus prudente. L'idée est de partir d'une mise moyenne, par exemple 5 €. À chaque gain, on diminue d'une unité le montant de la mise, tandis qu'à chaque perte, on l'augmente d'une unité. Nous vous invitons à faire quelques simulations : vous vous apercevrez быстро que le risque de dépasser le plafond est assez mince, mais que l'espérance de gain, naturellement, reste négative quoiqu'il advienne, piégeant le joueur dans une routine qui semble rationnelle mais qui finit par engendrer des pertes cumulatives.

A lire aussi :

> Stratégies à la roulette

> Probabilités à la roulette

> Chances de gain à la roulette

> Comment tricher à la roulette